Pumpenrätsel

Gerade bekam ich ein unterhaltsames Rätsel gestellt: Angenommen ein Pool mit 2400 Litern Fassungsvermögen soll leer gepumpt werden. Dazu stehen zwei Pumpen zur Verfügung. Alleine bewältigt die eine Pumpe den Pool in 2 Stunden, die andere in 3 Stunden. Wie schnell ist der Pool trockengelegt, wenn beide Pumpen zusammen eingesetzt werden?

Das interessante an dieser Aufgabe ist, dass das Fassungsvermögen des Pools für die Lösung völlig unerheblich ist.
Es genügt zu wissen, dass der Pool mit der einen Pumpe nach a Minuten geleert werden kann und mit der anderen in b Minuten. Nach x Minuten ist der Pool vollständig trockengelegt. Demnach muss gelten, dass der Pool nach a Minuten zu

\frac{x}{a}

geleert ist und nach b Minuten zu

\frac{x}{b}

. Der Pool ist leer, wenn a = x bzw. b = x gilt. Werden beide Pumpen eingeschaltet, ist das Wasser x Minuten zu einem Anteil von

\frac{x}{a} + \frac{x}{b}

aus dem Pool gepumpt. Es befindet sich kein Wasser mehr im Pool, wenn

\frac{x}{a} + \frac{x}{b} = 1

gilt. Nun können wir die Gleichung nach x auflösen:

x = \frac{1}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}

.

Für a = 2 und b = 3 ergibt das:

x = \frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} = \frac{6}{5}

Und

\frac{6}{5}

entsprechen nun wie vielen Stunden? Tipp:

\frac{60}{60}

sind die Entsprechung einer Stunde. 😉